PORCENTAGEM - Thiago Conrado

Escrito por: Thiago Conrado Tosta – Professor de Matemática / Física em Indaiatuba – SP

Eu vou escrever este texto pensando em dois pontos de vistas diferente, que seria uma explicação mais “técnica” e uma outra explicação mais superficial e “detalhada”. Eu espero alcançar diferentes públicos, em diferentes níveis escolares, então, para eu chegar neste objetivo, precisarei explicar a mesma coisa sobre diferentes pontos de vista, para facilitar a compreensão e também atender a todos os gostos. Este texto vai ficar um pouco grande, mas com certeza vai lhe esclarecer muitas dúvidas e também auxiliar no seu aprendizado. Eu dividi ele em subtítulos para facilitar a sua busca. (Ao clicar nos subtítulos abaixo, você vai ser redirecionado para aquele assunto).

1) Introdução

2) O que é uma porcentagem?

3) Como podemos representar uma porcentagem?

4) Como podemos representar uma fração em porcentagem?

5) Como eu posso calcular os juros de uma compra, com base na porcentagem?

6) Como eu posso calcular o meu desconto em uma compra, com base na porcentagem?

7) Como eu posso calcular a porcentagem de uma quantidade?

1) Introdução

Quando saímos para as compras no supermercado, loja de roupas ou qualquer outro tipo de comércio, é muito comum visualizarmos anúncios enormes, coloridos e chamativos, nas vitrines, oferecendo descontos para compras à vista, ou “pague 2 e leve 3”, promoções e assim por diante. A porcentagem, quando aplicada corretamente (e de forma justa) nestes anúncios, poderão favorecer ao consumidor em suas compras (ele possibilita vantagens), pois quanto mais ele gastar, maior vai ser a economia através do desconto. O desconto é um valor, em dinheiro, que o cliente vai “deixar de pagar” (vai economizar) na sua compra, então é uma vantagem ou benefício.

Da mesma forma que existem as vantagens sobre o desconto em uma compra, também existem as desvantagens, que seriam os Juros. Os Juros normalmente aparecem através das instituições financeiras (banco) ou quando ocorrem pagamentos de compras parcelados (por exemplo). Para o vendedor é muito mais interessante receber o dinheiro, de uma venda, em sua totalidade no ato da compra, porém, em um pagamento parcelado, o vendedor vai receber este dinheiro “aos poucos” (em parcelas). O cliente vai ter a vantagem de parcelar as suas compras, porém a mercadoria vai custar um pouco mais “caro”. Esse valor extra, que o cliente pagará “a mais”, conhecemos como juros. Os juros é um valor, em dinheiro, que o cliente vai pagar “a mais” na sua compra, então é uma desvantagem.

2) O que é uma porcentagem?

De acordo com as melhores definições encontradas por aí, podemos definir como sendo: “proporção de uma quantidade ou grandeza em relação a uma outra avaliada sobre a centena [símb.: %]; percentual”. Uma outra definição diz que: “Percentagem ou Porcentagem é uma medida de razão com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 valores a partir de uma fração cujo denominador é 100, ou seja, é dividir um número por 100.”

Podemos entender então que uma porcentagem representa a razão (razão na matemática indica uma divisão) entre dois números, ou seja, concluímos que elas podem ser representadas na forma de fração. O numerador desta fração (que é o número de cima) vai indicar sempre a porcentagem trabalhada e o denominador (que é o número de baixo) representará a “razão centesimal”, que será sempre 100. Veja alguns exemplos abaixo.

50% pode ser representado como $\frac{50}{100}$ ;

30% pode ser representado como $\frac{30}{100}$ ;

75% pode ser representado como $\frac{75}{100}$ ;

Para facilitar o entendimento, um desconto de 10% significa que, a cada R$ 100,00 que o produto vai lhe custar, você deixará de pagar R$ 10,00 $\left ( \frac{10}{100} \right )$ . Um desconto de 20% significará que, a cada R$ 100,00 em compra, você deixará de pagar R$ 20,00 $\left ( \frac{20}{100} \right )$ . Veja alguns exemplos abaixo.

Valor da mercadoria em R$ sem desconto	R$ 100,00	R$ 200,00	R$ 300,00
Valor da mercadoria com um desconto de 20%	R$ 80,00	R$ 160,00	R$ 240,00

Podemos observar através dos exemplos acima que, quanto maior for o desconto percentual ou o valor da compra, maior vai ser o desconto. 20% de desconto, em uma mercadoria que custa R$ 100,00, vai me poupar somente R$ 20,00; mas estes mesmos 20% de desconto vão me proporcionar uma economia maior, de R$ 60,00 em uma compra que custa R$ 300,00. Se a porcentagem também for maior, com certeza os descontos também vão ser ainda maiores. No exemplo em que citei sobre juros, devemos sempre procurar os menores do mercado, para reduzirmos os nossos custos (ou “perdas”).

Uma outra noção muito importante que precisamos ter sobre porcentagem, é saber interpretar algumas informações, como por exemplo: um inteiro, metade, terça parte, quarta parte e etc… Veja abaixo a explicação de alguns destes conceitos matemáticos.

Vinícius comeu 100% da torta que a mãe dele fez para ele. (Ele comeu a torta inteira sozinho!);
Luana bebeu 50% de um copo de suco, que tinha 200 ml. (Ela bebeu a metade do suco, ou seja, 100 ml);
Vitor comprou uma pizza e comeu apenas 25% dela. (Ele comeu o equivalente a quarta parte da pizza).

Existem muito mais exemplos, porém citei somente três dos mais utilizados. 100% em um desconto significa que a mercadoria vai sair “de graça”, você vai pagar nada por ela, já um desconto de 50% indica que você vai pagar somente a metade do valor do produto e o raciocínio segue da mesma forma para outros valores. Um inteiro representa 100%, a metade é 50%, a quarta parte seria $\frac{1}{4}$ do valor total e 10% seria a décima parte, ou seja, $\frac{1}{10}$ .

Uma observação importante que eu faço, em relação a representação da porcentagem na forma de fração, é que as frações podem ser simplificadas até se tornarem irredutíveis, ou seja, eu posso transformar elas para obter frações equivalentes e com números ainda menores (sempre que possível).

Exemplo: 50% = $\frac{50 {\color{Red} :2}}{100 {\color{Red} :2}} = \frac{25 {\color{Red} :5}}{50 {\color{Red} :5}} = \frac{5 {\color{Red} :5}}{10 {\color{Red} :5}} = \frac{1}{2}$ ou poderíamos dividir direto da seguinte forma: $\frac{50 {\color{Red} :50}}{100 {\color{Red} :50}} = \frac{1}{2}$ . Observe então que 50% poderá ser representado por qualquer uma das frações citadas, concluímos que todas elas são frações equivalentes.

3) Como podemos representar uma porcentagem?

Uma porcentagem pode ser representada na forma de uma fração, conforme mostrado acima, e também pode ser representada como o resultado da divisão desta fração (uma fração representa uma razão entre dois números, ou seja, uma divisão). O resultado da divisão desta fração geralmente (na grande maioria dos casos) vai resultar em um número decimal (número com vírgula) e, este número decimal, representará um valor percentual que poderá ser utilizado em inúmeras situações matemáticas. Veja alguns exemplos de porcentagens, através de números decimais, abaixo.

Como porcentagem, ficará assim => 10% |na forma de fração => $\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{100}}$ | e para achar a forma decimal, vou precisar dividir “10 por 100” (10:100), obtendo, neste caso, 0,1. Então 10% = $\frac{\mathbf{10 {\color{Red} :10}}}{\mathbf{100 {\color{Red} :10}}}$ = $\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{10}}$ = 0,1. Mais adiante eu irei explicar como que se utiliza isso para efetuar contas envolvendo porcentagem.

4) Como podemos representar uma fração em porcentagem?

Uma fração também representa uma porcentagem, pois ela apresenta a razão entre dois números (o numerador e o denominador) e o numerador e denominador dela também seguem uma razão de proporção. Para transformar a fração em porcentagem, você precisará descobrir uma outra fração, equivalente a primeira, cujo o denominador seja 100. Para quem já tem um pouco de prática, isso não é necessário para achar a porcentagem, mas para quem está começando a aprender, é importante fazer desta forma. Segue o exemplo abaixo.

A fração $\frac{1}{2}$ representa 50%, pois $\frac{1 \rightarrow {\color{Red} \boldsymbol{}\boldsymbol{x 50}}}{2 \rightarrow \mathbf{{\color{Red} }\boldsymbol{\boldsymbol{}{\color{Red} x 50}}}} = \frac{50}{100} = \boldsymbol{50%}$ .

5) Como eu posso calcular os juros de uma compra, com base na porcentagem?

Para calcular os juros, você poderá utilizar a fração reduzida ou o número decimal que representa aquela porcentagem. Eu farei um exemplo abaixo e resolverei das duas formas, utilizando número decimal e também frações.

EXEMPLO I: Se o aumento salarial foi de 12%, quanto passará a ganhar alguém que recebe R$800,00?

Observe que, no exemplo acima, um aumento salarial não representa uma situação de juros sobre uma compra, porém ele está representando um aumento nos ganhos do trabalhador.

I) Resolvendo através de números decimais: Conforme já foi explicado, eu preciso encontrar o número decimal que representa 12%.

12% = $\frac{12 {\color{Red} :4}}{100 {\color{Red} :4}} = \frac{3}{25} = 0,12$ .

Após achar este número decimal, bastará que eu multiplique ele pelo salário do trabalhador => 0,12 x R$ 800,00 = R$ 96,00.

O valor de R$ 96,00 está representando o aumento salarial de 12%, então, para eu saber qual vai ser o novo salário da pessoa, precisarei somar o salário antigo com este valor que foi obtido => R$ 800,00 + R$ 96,00 = R$ 896,00.

II) Existe um método alternativo, e que eu considero mais rápido de obter a resposta e sem precisar somar no final, que consiste em considerar 100% do salário antigo mais o aumento de 12% logo de cara. Ficará assim.

100% (salário antigo) + 12% (o aumento) = 112%, então 112% = $\frac{112 {\color{Red} \boldsymbol{}:4}}{100 {\color{Red} \boldsymbol{}:4}} = \frac{28}{25} = \boldsymbol{{\color{Red} }{\color{Red} 1,12}}$ . Se eu multiplicar R$ 800,00 por 1,12; eu irei obter o novo salário já com o aumento e sem a necessidade de somar no final.

R$ 800,00 x 1,12 = R$ 896,00.

III) Para resolver através de frações, primeiro descobrirei qual a fração que representa 12%.

12% = $\frac{12 {\color{Red} :4}}{100 {\color{Red} :4}} = \frac{3}{25}$

a regra é, pegar os R$ 800 e depois dividir pelo denominador. O resultado obtido vai ser multiplicado, depois, pelo numerador da fração.

800 : 25 = 32 e 32 x 3 = R$ 96,00. Este resultado representa o aumento, então para saber qual vai ser o novo salário é necessário somar.

R$ 800,00 + R$ 96,00 = R$ 896,00.

IV) Da mesma forma que no exemplo II, eu também posso utilizar aqui o mesmo raciocínio e calcular da seguinte forma:

112% = $\frac{112 {\color{Red} \boldsymbol{}:4}}{100 {\color{Red} \boldsymbol{}:4}} = \frac{28}{25}$ , então R$ 800,00 : 25 = R$ 32,00. R$ 32,00 x 28 = R$ 896,00.

6) Como eu posso calcular o meu desconto em uma compra, com base na porcentagem?

Para calcular o desconto, você poderá aplicar todas as técnicas utilizadas no item 4 (logo acima), porém o que vai mudar aqui é que descontar significa diminuir um valor do preço final. Para algumas contas, o raciocínio inicial também poderá sofrer algumas alterações, que irei explicar logo abaixo através de um outro exemplo.

EXEMPLO II: Uma bicicleta custa R$230,00. Quem comprar essa bicicleta com 20% de desconto, quanto pagará?

Sabemos que 100% representa o valor total da bicicleta, porém eu obtive um desconto de 20%, então na verdade eu pagarei somente:

100% – 20% = 80% (pois 20% foi descontado).

Utilizando o mesmo raciocínio do item 4, eu vou obter: $80% = \frac{80 {\color{Red} \boldsymbol{}:20}}{100 {\color{Red} \boldsymbol{}:20}} = \frac{4}{5} = \boldsymbol{{\color{Red} }{\color{Red} \boldsymbol{}0,8}}$

Então, para eu saber o valor da bicicleta com um desconto de 20%, basta eu calcular R$ 230,00 x 0,8 = R$ 184,00

Eu posso também utilizar a fração $\frac{4}{5}$ e resolver igual ao item III (do exemplo I).

7) Como eu posso calcular a porcentagem de uma quantidade?

Para fazer estes cálculos, basta eu aplicar alguma das técnicas que foi trabalhada nos itens 4 (exemplo que falo sobre juros) ou item 5 (exemplo envolvendo desconto). Veja alguns exemplos logo abaixo:

a) 30% de 150 = 0,3 x 150 = 45

b) 10% de 200 = 0,1 x 200 = 20

c) 50% de 500 = 0,5 x 500 = 250

Da mesma forma que, agora conhecendo os métodos já explicados acima, eu poderei calcular um aumento de uma forma muito mais facilitada, conforme os exemplos abaixo.

a) 700 + 30% = 700 x 1,3 = 910

b) 350 + 15% = 350 x 1,15 = 402,5

c) 1.200 + 5% = 1.200 x 1,05 = 1.260

Ficou faltando explicar a respeito de juros sobre juros, descontos sucessivos, juros simples e compostos… mas isto poderá ser assunto para um próximo texto. Espero que este texto tenha esclarecido as suas principais dúvidas. Obrigado!

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